4. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки. Переносная и кориолисова сила инерции.

5. Принцип относительности

6. Свободные колебания материальной точки без учета сопротивления

7. Затухающие колебания материальной точки.

8. Вынужденные колебания

9.Момент инерции тела относительно оси.Радиус инерции тела.

11(12).Моменты инерции простых тел относительно главных центральных осей:однородного тонкого стержня,сплошного круглого цилиндра.

12.Диф.Уравнения движения механической системы.

13.Теорема о движении центра масс механической системы.

14. Количество движения материальной точки и механической системы.

15. Элементарный импульс силы и импульс силы за конечный промежуток времени.

16. Теоремы об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и в конечной формах.

17. Теорема об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения количества движения.

18. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси.

19. Кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения.

21(22) Диференциальные Уравнения движения твердого тела(поступательного, вращательного и плоскопараллельного движения твердого тела).

33. Физический и математический маятники. Период колебаний. Определение осевых моментов инерции тел.

37. Определение главного вектора и главного момента сил инерции механической системы.

33(36). Главный вектор сил инерции поступательно движущегося тела.

38). Главный вектор и главный момент сил инерции вращающегося тела в двух случаях: ось вращения проходит через центр масс тела и не проходит.

45.Обобщеные силы их вычисление,размерности обобщеных сил

46. Обобщеные силы имеющие потенциал.

47.Условия равновесия системы в обобщеных координатах

39.(49) Уравнение Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа (кинетический потенциал).

40.Явление удара.Ударная сила и ударный импульс.Действие ударной силы на материальную точку.

41.Теорема об изменении кол-ва движения мех.Сис. При ударе.

42.Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность;упругий и неупругий удары.Коэфицент

14. Количество движения материальной точки и механической системы.

Кол-вом дв-ия мат/точки наз-ся векторная величина , равная произведению массы на ее скорость (направлен как и ск-ть по касательной).

Кол-вом дв-ия с-мы будем наз-ть векторную величину , равную геометрической сумме (главному вектору) кол-в дв-ия всех точек с-мы:

Кол-во дв-ия с-мы равно произведению массы всей с-мы на скорость ее центра масс:

15. Элементарный импульс силы и импульс силы за конечный промежуток времени.

Элем-ым имп-ом силы наз-ся векторная величина , равная произведению силына элем-ный промежуток времениdt: (направлен вдоль линии действия силы)

Импульс силы за некоторый промежуток времени t 1 равен определенному интегралу от элем-ого импульса, взятому в пределах от 0

16. Теоремы об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и в конечной формах.

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия мат/точки в дифф/форме: производная по времени от кол-ва дв-ия точки равна сумме действующих на точку сил:

При t=0 ск-ть , приt 1 ск-ть

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия мат/точки (в кон/виде): изм-ие кол-ва

дв-ия точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

17. Теорема об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения количества движения.

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия с-мы в дифф/форме: производная по времени от кол-ва дв-ия с-мы равна геом-ой сумме всех действующих на

с-му внешних сил. На

При t=0 кол-во дв-ия , приt 1 кол/дв :

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия с-мы в интегр-ой форме: изменение кол/дв с-мы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на с-му внешних сил за тот же промежуток времени.

З-он сох-ия кол-ва дв-ия:

1) Пусть , тогда=const. Если сумма внешних сил, действующих на с-му, равна 0, то вектор кол/движ с-мы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть , тогда=const. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна 0, то проекция кол/движ с-мы на эту ось есть величина постоянная.

18. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси.

Момент кол/дв точки отн-но некоторого центра О наз-ся векторная величина , определяемая равенством(направлен перпен-но

плос-ти, проходящей через и центр О)

Момент кол/дв точки относ-но оси Oz, проходящий через центр О :

19. Кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения.

Главным моментом кол-ств дв-ия (или кин-им моментом) с-мы отн-но данного центра О наз-ся величина , равная геом-ой сумме моментов кол-ств дв-ия всех точек с-мы отн-но этого центра:

Проекция на оси :

У любой точки тела, отстоящей от оси вращения ск-ть , следовательно:

Кин-ий момент вращения тела отн-но оси вращения равен произведению момента инерции тела отн-но этой оси

на угловую скорость тела:

20. кол-вом дв.мат.точки - вектор m υ размерность [кг*м\с]=[Н*с]

Теорема: дифференциал по времени от кол-ва дв.мат.точки равна геометрич.сумме действующей на не сил.

Домножим на dt , : d(mυ). Полный импульс S =домножим на dt получим интегральную конечную форму записи теоремы: m . –Изменение кол-ва дв.мат.точки за некоторый промежуток времени равно геометр.сумме импульсов сил,действующих на точку за тот же промежуток времени. Аналит.форма записи: m m m

(21). Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента.

Т-ма моментов для с-мы: производная по времени от главного момента кол-ств дв-ия с-мы отн-но некоторого неподвижного центра равна сумме моментво всех внешних сил с-мы отн-но того же центра. Проекция на оси:

Закон сохранения кин-ого момента:

"

По определению количеством движения системы называется вектор

Поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона

и в силу соотношения (5)

Это утверждение называется теоремой об изменении количества движения (импульса) системы:

Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех действующих на систему внешних сил.

Проектируя равенство (7) на любую неподвижную ось , получаем

где - проекция на ось вектора , а - проекция на нее вектора .

Если система замкнута, то по определению на ее точки не действуют внешние силы, , т. е.

(9)

Тем самым устанавливается закон сохранения количества движения: При движении замкнутой системы количество движения (импульс) системы не меняется.

Это утверждение справедливо, разумеется, и для системы, на которую действуют внешние силы, если .

Из равенства (8) следует, что если , то , т. е. что у любой системы проекция количества движения на некоторую ось не изменяется во время движения, если главный вектор внешних сил системы перпендикулярен этой оси.

Теореме об изменении количества движения и закону сохранения количества движения можно придать иную форму, если ввести понятие о центре инерции системы.

Центром инерции системы называется геометрическая точка

С пространства, определяемая радиусом-вектором

Величина называется массой системы.

Во время движения точек системы меняются , а значит, меняется и , т. е. при движении точек системы движется и ее центр инерции. Траекторией центра инерции служит геометрическое место (годограф) концов векторов , а скорость точки С направлена по касательной к этому годографу и определяется равенством

которое получается дифференцированием равенства (10) по .

Из равенства (11) следует, что

т. е. что количество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость ее центра инерции.

Из теоремы об изменении количества движения следует тогда

Но равенство (13) выражает второй закон Ньютона для материальной точки, помещенной в центре инерции и движущейся вместе с ним, если масса этой точки равна М и если к ней приложена сила . Отсюда следует, что теорему изменении количества движения можно сформулировать так:

При движении системы материальных точек ее центр инерции движется так, как двигалась бы материальная точка, помещенная в центре инерции, если бы в ней были сконцентрированы массы всех точек системы и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на точки системы.

В такой формулировке теорему об изменении количества движения называют теоремой о движении центра инерции.

У замкнутых систем и

(14)

Поэтому закон сохранения количества движения можно сформулировать так: центр инерции замкнутой системы движется с постоянной скоростью (быть может, равной нулю).

Разумеется, это утверждение верно и для проекций соответствующих векторов. Если проекция главного вектора внешних сил на некоторую ось тождественно равна нулю, то центр инерции движется так, что проекция скорости центра инерции на эту ось остается постоянной.

Далее иногда будет удобно вводить в рассмотрение вспомогательную систему отсчета, которая движется поступательно и начало которой помещено в центр инерции системы. Такую систему отсчета будем называть далее центральной. В том случае, когда скорость центра инерции постоянна, центральная система является инерциальной.

Для решения многих задач динамики, особенно в динамике системы, вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, являющимися следствиями основного закона динамики.

Значение общих теорем состоит в том, что они устанавливают наглядные зависимости между соответствующими динамическими характеристиками движения материальных тел и открывают тем самым новые возможности исследования движения механических систем, широко применяемые в инженерной практике. Кроме того, применение общих теорем избавляет от необходимости проделывать для каждой задачи те операции интегрирования, которые раз и навсегда производятся при выводе этих теорем; тем самым упрощается процесс решения.

Перейдем к рассмотрению общих теорем динамики точки.

§ 83. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. ИМПУЛЬС СИЛЫ

Одной из основных динамических характеристик движения точки является количество движения

Количеством движения материальной точки называется векторная величина равная произведению массы точки на ее скорость. Направлен вектор так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к ее траектории.

Единицей измерения количества движения является в СИ - а в системе МКГСС - .

Импульс силы. Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводится понятие об импульсе силы. Сначала введем понятие об элементарном импульсе, т. е. об импульсе за элементарный промежуток времени

Элементарным импульсом силы называется векторная величина равная произведению силы F на элементарный промезкуток времени

Направлен элементарный импульс вдоль линии действия силы.

Импульс S любой силы F за конечный промежуток времени вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементраных импульсов, т. е.

Следовательно, импульс силы за некоторый промежуток времени равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до

Количеством, движения системы будем называть векторную величину Q, равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы (рис. 288):

Пользуясь этим определением, найдем формулу, с помощью которой значительно легче вычислять величину Q, а также уяснить ее смысл. Из равенства (Г) следует, что

Беря от обеих частей производную по времени, получим

Отсюда находим, что

т. е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Этим результатом особенно удобно пользоваться при вычислении количеств движения твердых тел.

Из формулы (19) видно, что если тело (или система) движется так, что центр масс остается неподвижным, то количество движения тела равно нулю. Например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс, будет равно нулю.

Если же движение тела является сложным, то величина Q не будет зависеть от его вращательного движения вокруг центра масс. Например, для катящегося колеса независимо от того, как вращается колесо вокруг его центра масс С.

Таким образом, количество движения можно рассматривать как характеристику поступательного движения системы (тела), а при сложном движении - как характеристику поступательной части движения вместе с центром масс.

Количество движения системы, как векторная величина, определяется формулами (4.12) и (4.13).

Теорема. Производная от количества движения системы по времени равна геометрической сумме всех действующих на нее внешних сил.

В проекциях декартовые оси получим скалярные уравнения.

Можно записать векторное

(4.28)

и скалярные уравнения

Которые выражают теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов за тот же промежуток времени. При решении задач чаще используются уравнения (4.27)

Закон сохранения количества движения

Теорема об изменении кинетического момента

Теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки относительно неподвижного центра равна векторному моменту, действующей на точку силы относительно того же центра.

или (4.30)

Сравнивая (4.23) и (4.30), видим, что моменты векторов и связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы и (рис. 4.1). Если спроектировать равенство на ось , проходящую через центр О, то получим

(4.31)

Это равенство выражает теорему момента количества движения точки относительно оси.

Рис. 4.1.

Теорема об изменении главного момента количества движения или кинетического момента механической системы относительно центра: производная по времени от кинетического момента системы относительно некоторого неподвижного центра равно сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра.

(4.32)

Если спроектировать выражение (4.32) на ось , проходящей через центр О, то получим равенство, характеризующее теорему об изменении кинетического момента относительно оси.

(4.33)

Подставляя (4.10) в равенство (4.33) можно записать дифференциальное уравнение вращающегося твердого тела (колес, осей, валов, роторов и т.д.) в трех формах.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Таким образом, теорему об изменении кинетического момента целесообразно использовать для исследования весьма распространенного в технике движения твердого тела, его вращения вокруг неподвижной оси.

Закон сохранения кинетического момента системы

1. Пусть в выражении (4.32) .

Тогда из уравнения (4.32) следует, что , т.е. если сумма моментов всех приложенных к системе вешних сил относительно данного центра равно нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра будет численно и по направлению будет постоянен.

2. Если , то . Таким образом, если сумма моментов действующих на систему внешних сил относительно некоторой оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти результаты выражают собой закон сохранения кинетического момента.

В случае вращающегося твердого тела из равенства (4.34) следует, что, если , то . Отсюда приходим к следующим выводам:

Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то , следовательно, и и твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.

Если система изменяема, то . При увеличении (тогда отдельные элементы системы удаляются от оси вращения) угловая скорость уменьшается, т.к. , а при уменьшении увеличивается, таким образом, в случае изменяемой системы с помощью внутренних сил можно изменить угловую скорость.

Вторая задача Д2 контрольной работы посвящена теореме об изменении кинетического момента системы относительно оси.

Задача Д2

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2м) массой кг вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC = b (рис. Д2,0 – Д2,9, табл. Д2); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д2,0а (вид сверху).

В момент времени по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой кг по закону , где s выражено в метрах, t - в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом M (задан в ньютонометрах; при M < 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Определить, пренебрегая массой вала, зависимость т.е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s > 0 (когда s < 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

Указания. Задача Д2 – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость груза складывается из относительной и переносной скоростей, т.е. . Поэтому и количество движения этого груза . Тогда можно воспользоваться теоремой Вариньона (статика), согласно которой ; эти моменты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения разъяснен в примере Д2.

При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца z), как это сделано на рис. Д2,0,а – Д2,9, а.

Момент инерции пластины с массой m относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс, равен: для прямоугольной пластины со сторонами и

;

Для круглой пластины радиуса R

Номер условия	b	s = F(t)	M
	R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2	-0.4 0.6 0.8 10 t 0.4 -0.5t -0.6t 0.8t 0.4 0.5	4t -6 -8t -9 6 -10 12

	Рис. Д2.0		Рис. Д2.0а

	Рис. Д2.1		Рис. Д2.1а

	Рис. Д2.2		Рис. Д2.2а

	Рис. Д2.3		Рис. Д2.3а

	Рис. Д2.4
		Рис. Д2.4а

		Рис. Д2.5а
	Рис. Д2.5

	Рис. Д2.6		Рис. Д2.6а

	Рис. Д2.7		Рис. Д2.7а

	Рис. Д2.8		Рис. Д2.8а

	Рис. Д2.9		Рис. Д2.9а

	Рис. Д2

Пример Д2 . Однородная горизонтальная платформа (прямоуголь­ная со сторонами 2l и l), имеющая массу жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угло­вой скоростью (рис. Д2а). В момент времени на вал начинает действовать вращающий момент М, направленный противо­положно ; одновременно груз D массой , находящийся в желобе АВ в точке С, начинает двигаться по желобу (под действием внутрен­них сил) по закону s = CD = F(t).

Дано: m 1 = 16 кг, т 2 = 10 кг, l = 0,5 м, = 2 , s = 0,4t 2 (s - в метрах, t - в секундах), М = kt, где k =6 Нм/с. Опре­делить: - закон изменения угловой скорости платформы.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плат­формы и груза D. Для определения w применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

(1)

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести реакции и вращающий момент M. Так как силы и параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление (т. е. против хода часовой стрелки), получим и уравнение (1) примет такой вид.